Monitor.edu.pl / Analizy Kanał RSS: Monitor Edukacji

Komentarz do raportu IBE – matematyka w systemie edukacji

Kanał RSS: Newsy edukacyjne
Raport „Społeczeństwo w drodze do wiedzy. Raport o stanie edukacji 2010” został zaprezentowany na Kongresie Polskiej Edukacji w czerwcu 2011 i omówiony w zasadniczych zarysach przez dyrektora Instytutu Badań Edukacyjnych profesora Michała Federowicza.

Matematyce poświęcona jest trzecia część Raportu, zatytułowana „Czy myślimy matematycznie?” Ta część została potraktowana w specjalny sposób, dla podkreślenia ważnej roli matematyki w wykształceniu ogólnym. Omówiono szczegółowo wiele spraw, włączając w to historię matury z matematyki. Matematyka była od początków wprowadzenia tego egzaminu stałą jego częścią. Wyjątek w długiej historii matury stanowił okres od roku 1983 do 2009, kiedy matematyka była w Polsce przedmiotem do wyboru. Przywrócenie matematyki jako przedmiotu obowiązkowego dla wszystkich na maturze poprzedziła dość długa dyskusja. Bardzo mało w tej dyskusji poświęcono uwagi temu, co ma obejmować ten przedmiot na maturze obowiązkowej dla wszystkich w początku wieku XXI. Raczej uznano za oczywiste, że ma to być zakres tradycyjny z okresu ostatnich lat, gdy matura z matematyki obowiązywała. Jednak matematyka, tak jak każdy język, zmienia się. W ostatnim trzydziestoleciu matematyka używana w życiu poza szkołą zmieniła się ogromnie pod wpływem rozwoju technologii informacyjnej i komunikacyjnej (TIK). Młodzi ludzie nie widzą już w sklepach wag i ciężarków, jak to było za czasów Marii Montessori. Widzą wagi elektroniczne, które podają wynik w języku liczb dziesiętnych. W supermarketach, w sklepach i sklepikach, a nawet na targu – ludzie używają kas fiskalnych lub kalkulatorów. W naukach humanistycznych i ekonomicznych potrzebna jest statystyka i umiejętność posługiwania odpowiednim oprogramowaniem, a w naukach przyrodniczych potrzebna jest przede wszystkim umiejętność czytania rozmaitych wykresów i posługiwania się programami, które takie wykresy produkują. W naukach technicznych i w sztuce potrzebna jest znajomość różnorodnych form płaskich i przestrzennych. Jak to się ma do tej matematyki szkolnej? Potrzebny jest rozwój konceptualny, przydatny, a nawet konieczny do racjonalnego posługiwania się technologią TIK.

Szkolna matematyka, ta właśnie przywrócona na maturze weszła do kanonu szkolnego pod koniec dziewiętnastego wieku – czyli ma już ponad sto lat. Nie zmieniła się wiele od tego czasu. Szkolna matematyka ogranicza się dzisiaj w praktyce w naszym Kraju (i w wielu innych) do wyuczania na pamięć pewnej liczby algorytmów przekształcających liczby lub konglomeraty liczb w pewne inne liczby, a także do pewnej ograniczonej wiedzy o geometrii – głównie geometrii płaskiej. To nie jest to, co dzisiaj wystarcza, aby rozwijać myślenie matematyczne w sytuacjach pozaszkolnych.

Aby matematyka była przydatna i praktycznie, i intelektualnie, potrzebne jest rozumienie pojęć matematycznych w takim stylu i w takich zakresie, w jakim te pojęcia funkcjonują w życiu społecznym poza szkołą. Trzeba dobrze rozumieć pojęcie liczby, jako punktu na osi liczbowej, tj liczby rzeczywistej, strukturę działań na tych liczbach, pojęcie funkcji i jej wykresu, trzeba umieć posługiwać się wykresami funkcji tak jak „słowami”, trzeba umieć czytać rozmaite wykresy i znać podstawowe pojęcia statystyki. Trzeba umieć rachować w głowie, ale z kalkulatorem w ręku, a nie tylko „ołówkiem na papierze”, bez zrozumienia, dlaczego tak, a nie inaczej. Trzeba rozumieć i umieć odpowiednio zapisywać złożone rachunki, ale nade wszystko trzeba na prawdę rozumieć przede wszystkim te matematyczne pojęcia, które są powszechnie używane w komunikacji społecznej poza szkołą. Nie tu miejsce, abym sporządzał listę tych pojęć. Wystarczy spojrzeć do codziennych gazet, aby zobaczyć, że najpotrzebniejsza jest elementarna statystyka i czytanie wykresów oraz śledzenie i interpretowanie zmienności zjawisk na podstawie wykresów.

Maturalne zestawy zadań nie wiele mają wspólnego ze sprawdzaniem rozumienia tych spraw. Nie bada się na maturze prostych sprawności TIK, np. takich jak posługiwanie się najprostszym kalkulatorem, takim za 5 zł, prostym darmowym programem „Wykresy funkcji online”, czy trochę subtelniejszym, darmowym „GeoGebra”, czy darmowym „Binomial calculator”.

Tradycyjne algorytmy pisemnego mnożenia lub dodawania kładą nacisk na najmniej znaczące cyfry – od tego zaczynają. Ale, aby szacować w głowie poprawność wyniku trzeba szacować rząd wielkości i pierwszą lub dwie pierwsze cyfry wyniku. Mając kalkulator w ręku, każdy uczeń może sobie sam sobie zadawać zadania rachunkowe do rachowania w pamięci i sprawdzać wyniki na kalkulatorze, albo też para uczniów może nawzajem zadawać sobie takie ćwiczenia, potrzebne do podnoszenia wprawy rachunkowej w rachowaniu w pamięci. Szkoła powinna zachęcać do używania kalkulatora i w ogóle TIK. Tymczasem jednak nawet ten pierwszy kalkulatorowy krok jest w polskich szkołach rzadkością. Proste kalkulatory są wprawdzie półgębkiem zalecane w podstawie programowej, nie ma jednak na egzaminach i testach zadań, które sprawdzałyby umiejętność posługiwania się nimi i rozumienia ich możliwości (nie mówiąc już o umiejętności posługiwania się wspomnianymi programami).

O niedostatkach w rozumieniu wykonywanych tradycyjnych operacji na liczbach jest trochę mowa w Raporcie. Nie analizuje się jednak w Raporcie struktury samej matematyki, narzuconej przez tradycję i obecnie obowiązującą podstawą programową. Analiza taka jest potrzebna, aby zobaczyć, że i jak lista tematów z podstawy determinuje tematykę egzaminów, natomiast nie określa poziomów rozumienia matematyki, ani poziomów sprawności. Przy lekturze Raportu ma się wrażenie, że matematyka, jakiej uczyli się nasi pradziadkowie ma pozostać bez zmian, aż do końca świata. Może tylko dla świętego spokoju powinna być nieco skromniejsza. Nie widać w Raporcie zaniepokojenia faktem, że brakuje na maturze dostatecznego różnicowania poziomu rozumienia tematów i poziomu sprawności. Podam na to tylko jeden wybrany przykład.

Gdyby taka analiza została przeprowadzona, oczywiste stałoby się, że obecny dominujący w szkole sposób obliczania procentów, tj. sposób addytywny prowadzi nieuchronnie do trudności. Np. w typowym zadaniu, gdy mając kwit fiskalny trzeba na podstawie ceny z VATem obliczyć wartość towaru bez VATu. Sposób multyplikatywny obliczania procentów jest lepszy. Polega na tym, że np. zamiast 200 plus 3% obliczać za pomocą formuły
200+0.03×200
lepiej jest to obliczenie wykonywać za pomocą formuły
1.03×200
czyli multyplikatywnie. Funkcją odwrotną do "pomnożyć przez 1.03" jest bowiem funkcja
"podzielić przez 1.03".

No tak, właśnie trzeba by było. Ale podstawa programowa zgubiła gdzieś pojęcie funkcji odwrotnej. Nadal wbijamy więc w polskich szkołach do głów model addytywny dla procentów. Ten model jest tak dobrze utrwalony w głowach dorosłych, którzy przeszli przez szkołę, że trudno jest ich tego oduczyć i zachęcić do stosowania modelu multyplikatywnego. To jest przykład zjawiska „wdrukowania” w dydaktyce.

Psychologowie dobrze to wiedzą, że pole działania dla uczniów warto tak organizować, aby do każdej akcji była akcja przeciwna. Już Piaget opisywał pojęcie „ugrupowania”: taki układ pola działań, że do każdej akcji jest akcja „undo” (tak jak przy pisaniu na edytorze).

Niestety struktura multyplikatywna liczb jest zaniedbywana w szkole. Nie jest to jedyny przykład na to, że pewne działania na wczesnym etapie szkolnym powodują trudności na następnych etapach. Takich bardzo potrzebnych analiz w Raporcie nie ma.

Temat „Procenty” jest obecny w Raporcie. Nie ma jednak analizy sposobu jego potraktowania na różnych szczeblach edukacji.

Dodawanie jest prostsze do wykonania niż mnożenie, wobec tego od dodawania się zaczyna. To wystarcza np. do obliczenia napiwku, tu i ówdzie, ale już do analizy zwykłego kwitu fiskalnego – nie. Jeśli mamy przy sobie kalkulator, tak jak podstawa nadal zaleca „do poważniejszych obliczeń”, wykonanie mnożenia, czy dodawania nie robi różnicy. Technicznie jedno i drugie jest równie łatwe. Kalkulator uwalnia od części nużących rachunków i przez to umożliwia położenie nacisku na budowanie znaczeń, zachęca do rozwoju konceptualnego. Widać więc dobrze, że użycie kalkulatora, to nie jest sprawa lenistwa, ale jest to sprawa położenia nacisku na rozumienie struktury arytmetycznych działań. Unikanie kalkulatora pozbawia możliwości szybkiego wykonywania obliczeń, bardzo potrzebnego, aby myślenie konceptualne mogło być stosowane w praktyce w odpowiednim tempie, czyli w rozglądaniu się na żywo "wokół nas z kalkulatorem, jak z lupą".

To jeszcze nie wszystko. Potraktowanie multyplikatywne procentów pozwala nam łączyć temat "Procenty" z tematem "Jednokładność". Czynnik 1.03 w powyżej podanym przykładzie można interpretować jako "skalę jednokładności", "skalę powiększenia" lub "skalę pomniejszenia" jak w przypadku mapy. Zmiana "w skali" może być potraktowana rysunkowo. Wizualne potraktowanie zmiany bardzo ułatwia rozumienie.

Poruszam tu tylko jeden z wielu tematów matematyki szkolnej, bo komentarz nie może być za długi.

Z przytoczonych w Raporcie danych o nauczycielach matematyki wynika, że mimo wzrostu formalnego wykształcenia nauczycieli osiągnięcia uczniów mierzone punktami osiąganymi na testach raczej maleje. Czy nie mówi to czegoś o jakości pracy wyższych uczelni? Mówiąc eufemistycznie, czyli delikatnie, może uczą tam przyszłych nauczycieli nie tego co trzeba i za bardzo teoretycznie?

Matematyka szkolna nie jest sumą akademickich przedmiotów nauczania. To coś z jednej strony matematycznie skromniejszego, ale z drugiej strony bardzo objętościowo obszernego, połączonego z wiedzą o tym jak to się ma na różnych szczeblach szkolnego nauczania i w różnych krajach, połączoną z tym, jak tego uczyć nowocześnie. Ludzi, którzy się na tym znają jest na uczelniach co raz mniej. Nie pielęgnuje się tej dyscypliny,

Nie znalazłem w Raporcie wzmianki o Hattie's Research, tj. o tym jakie zabiegi dydaktyczne są najbardziej skuteczne, a jakie najmniej i jak to się ma do praktyki nauczania. To jest ważna wiedza dla nauczycieli nie tylko matematyki, warta sprawdzenia w naszych polskich warunkach. Potrzebne są jakieś uwagi co do skuteczności takich czy innych zabiegów w nauczaniu matematyki, zarówno na najniższym szczeblu nauczania, jak i na średnim i na tym końcowym, najwyższym. Tego w Raporcie, można powiedzieć, nie ma. Są bowiem tylko bardzo trafne i cenne, ale skąpe o tym uwagi, odnoszące się do początkowych szczebli nauczania.

Dane ilościowe przytoczone w Raporcie nie opisują tych spraw, których nie daje się ująć liczbowo. Są to sprawy związane z głębszą analizą jakości nauczania i są trudne i bardzo pracochłonne do zbadania. Ale dla pełnego obrazu bardzo istotne.

Na Kongresie Polskiej Edukacji prezentacja multimedialna Raportu wypadła znakomicie. W przeciwieństwie do tego forma drukowana wypadła słabo, raczej amatorsko. Raport, tak jak każda publikacja skierowana do przeciętnego odbiorcy, powinien być wydrukowany czytelnie, w sposób porównywalny chociaż do codziennych gazet. Niestety druk i skład znacznie odbiegają od tego wzorca. Druk jest szary, ciasny, monotonny. Miejsca wyróżnione tłustym drukiem są na mocnym kolorowym tle, co znacznie osłabia czytelność wytłuszczonych partii. W wielu miejscach proporcja jasności między ciemnym tłem, a szarą czcionką, rysowaną cienką linią, ustawiona została niekorzystnie. Nie wszystko, co jako tako, jako rysunek, wygląda na ekranie komputera, nadaje się do druku. Koniecznie trzeba zadbać o te sprawy przy druku następnego raportu.
Wacław Zawadowski, 10 stycznia 2012

Zobacz też:
Wacław Zawadowski, "Kłopoty z matematyką", biuletyn Monitora, luty 2010

Twoja opinia


Projekt realizowany w ramach programu Obywatele dla Demokracji, finansowanego z Funduszy EOG.
Fundusze EOG Fundacja im. Stefana Batorego Polska Fundacja Dzieci i Młodzieży